Info

Uwe Zeltmacher oder Paulus Körper

Uwe Zeltmacher oder Paulus Körper oder Nah Kugeln

english: Uwe Tent Maker Near Sphere, Approximate Sphere or Near Bullet Solid

Alte Frage

Wie kann man sich einer idealen kugel mit einer gegebenen zahl von möglichst regelmäßigen und möglichst gleich großen polygonen an nähern.

Platonische Körper

Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren deckungsgleichen (kongruenten) ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt. Eine andere Bezeichnung ist reguläre Körper (von lat. corpora regularia.

Es gibt fünf platonische Körper. Ihre Namen enthalten die griechisch ausgedrückte Zahl ihrer begrenzenden Flächen und eder als Abwandlung des griechischen Wortes ἕδρα (hedra) (s. auch Polyeder), deutsch (Sitz-)Fläche.

• Die Platonischen Körper sind konvex. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei deckungsgleiche Flächen, und jede Fläche hat gleich viele Ecken. Es ist also nicht möglich, irgendwelche zwei Körperecken, Kanten und Flächen aufgrund von Beziehungen zu anderen Punkten des Polyeders voneinander zu unterscheiden.

Archimedische Körper

Verzichtet man auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kanten, spricht man von archimedischen Körpern.

Catalanische Körper

Verzichtet man dagegen auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kanten, spricht man von catalanischen Körpern.

Unkugelige Körper

Verzichtet man auf die Konvexität, spricht man von regulären Polyedern und schließt damit die Kepler-Poinsot-Körper ein.

Platonische Gegeben Heiten

Alle platonischen körper bestehen aus 4 bis 20 gleich großen gleich seitigen polygonen mit drei, vier oder fünf seiten.

Erweiterung Triangulation

Man kann jetzt für jedes polygon die mitte finden und eine zeltstange vom zentrum der umschließenden kugel mit ihrem radius als länge drunter stellen und das polygon drüber spannen.

Jedes dreieck teilt sich dabei in drei kleinere nicht ganz gleich seitige aber gleich schenklige dreiecke (a), jedes quadrat in 4 kleinere nicht ganz gleich seitige aber gleich schenklige dreiecke und jedes polygon in 5 nicht ganz gleich seitige aber eben falls gleich schenklige dreiecke.

Diese prozedur kann beliebig oft wiederholt werden, wobei dann nur noch dreiecke in drei kleinere dreiecke geteilt werden müssen.

Alternativ können dreiecke mit 3 zeltstangen jeweils in der seiten mitte in vier beinahe gleich seitige dreiecke (b) oder durch eine weitere vierte stange im zentrum sogar in 6 dreiecke teilen (c). Die erste alternative (b) scheint die gleichmäßigsten dreiecke zu liefern, so lange das entstehende gestumpfte zelt dach gebilde nicht allzu hoch wird.

Für die 5 Platonischen Körper ergeben sich nach mehreren teilungen folgende Paulinische Zeltmacher körper:

1. Tetraeder aus 4 Dreiecken und 6 kanten variante (b)

  1. 16 eder und ?? kanten
  2. 64 eder und ?? kanten
  3. 256 eder und ?? kanten
  4. 1024 eder und ?? kanten
  5. 4096 eder und ?? kanten

2. Hexaeder oder Würfel aus 6 Quadraten und 12 kanten (b)

    24 eder und ?? kanten
    96 eder und ?? kanten
    384 eder und ?? kanten
    1536 eder und ?? kanten
    6144 eder und ?? kanten

    3. Oktaeder aus 8 Dreiecken und 12 kanten (b)

    1. 32 eder und ?? kanten
    2. 128 eder und ?? kanten
    3. 512 eder und ?? kanten
    4. 2048 eder und ?? kanten
    5. 8192 eder und ?? kanten

    4. Dodekaeder aus 12 fünfecken und 30 kanten, Pentagondodekaeder (b)

    1. 60 eder und ?? kanten
    2. 240 eder und ?? kanten
    3. 960 eder und ?? kanten
    4. 3940 eder und ?? kanten

    5. Ikosaeder aus 20 Dreiecken und 30 kanten (b)

      80 eder und ?? kanten
      320 eder und ?? kanten
      1280 eder und ?? kanten
      5120 eder und ?? kanten

      Interessant sind jetzt natürlich die formeln für den radius der umhüllenden kugel und die drei kanten längen der jeweiligen (dreiecks) teile so wie die zunehmende zahl der kanten und der benötigten zeltstangen.

      Bei jeder teilung eines dreiecks nach variante (b) entstehen 3 neue kanten. Insgesamt werden die bestehenden kanten verdoppelt und jede bestehende fläche bekommt drei neue kanten!

      Näherungs Alternativen

      Erstens kann man sich an stelle der äußeren umkugel auch der umschlossenen innen oder inkugel nähern, indem man die ecken nach innen bewegt und die mittelpunkte fest hält.

      Den mittelweg geht man durch abwechselnde näherung nach außen und innen, wobei das erhaltene volumen an nähernd konstant bleiben dürfte.

      Es gibt also diese drei näherungs ziele

      1. erhaltung der umkugel
      2. erhaltung des volumens
      3. erhaltung der inkugel

      Leave a Reply

      Fill in your details below or click an icon to log in:

      WordPress.com Logo

      You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

      Google photo

      You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

      Twitter picture

      You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

      Facebook photo

      You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

      Connecting to %s